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model-predictive-control.md

File metadata and controls

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control
mpc
optimization
locomotion
humanoid
status complete
updated 2026-10-29
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../comparisons/robot-control-eight-paradigms-taxonomy.md
../overview/robot-control-paradigm-receding-horizon-ilc.md
../formalizations/robot-jacobian.md
./iterative-learning-control.md
./lqr-ilqr.md
../overview/autonomous-driving-core-algorithms-series.md
sources
../../sources/blogs/wechat_shenlan_robot_control_eight_paradigms.md
../../sources/blogs/wechat_shenlan_ai_ad_planning_control.md
summary MPC（模型预测控制）通过在线滚动优化未来轨迹，在约束控制与人形/腿足运动规划中广泛使用。

Model Predictive Control (MPC，模型预测控制)

模型预测控制：一种基于滚动时域优化的控制方法，在每个时刻求解一个有限时域的最优控制问题，只执行第一步，然后重复。

一句话定义

不是一次性算出全局最优控制，而是每一步都在线求解一个有限时域优化问题，只执行当前动作，然后重复。

英文缩写速查

缩写 英文全称 简要说明
MPC Model Predictive Control 滚动时域内优化控制序列
OCP Optimal Control Problem MPC 每步求解的有限时域最优控制
QP Quadratic Programming 线性化动力学下的常见求解形式
CoM Center of Mass 质心轨迹是 loco MPC 核心状态
WBC Whole-Body Control MPC 输出参考，低层 QP 跟踪全身

为什么重要

MPC 是机器人控制中最接近“万能控制框架”的东西——只要你能建模，就能控制。

核心优势：

  • 处理约束：关节限位、接触力限制、碰撞避免——都可以自然地塞进优化约束里
  • 处理多目标：同时处理平衡、跟踪、能耗等多个目标
  • 处理非线性：非线性 MPC 可以处理复杂动力学
  • 处理时变系统：每步重新计算，自然适应变化

代价是计算量大，实时性要求高。

核心工作原理

预测模型

首先需要一个动力学模型：

$$\dot{x} = f(x, u)$$

或者离散形式：

$$x_{k+1} = f(x_k, u_k)$$

这个模型不需要很精确（这也是 MPC 的一个优点），但越精确效果越好。

有限时域优化

在每个时刻 $t$：

  1. 预测：用模型预测未来 $N$ 步的状态序列
  2. 优化：求解一个优化问题，找到使代价函数最小的控制序列 $u_t, u_{t+1}, ..., u_{t+N-1}$
  3. 执行：只把 $u_t$ 发给机器人
  4. 重复：到下一个时刻，重新预测 + 求解

这就是"滚动时域"（receding horizon）控制的核心。下图概括每个控制周期内的闭环：

flowchart TD
  t0(["控制周期 t"])
  s1["① 预测<br/>模型 rollout 未来 N 步"]
  s2["② 优化<br/>min 有限时域代价 + 约束"]
  s3["③ 执行<br/>仅下发 u_t"]
  s4["④ 重复<br/>t ← t+1，重新测量"]
  t0 --> s1 --> s2 --> s3 --> s4
  s4 -->|"滚动时域"| t0
  xref["参考 x_ref<br/>关节/接触/碰撞约束"] -.-> s2
  model["动力学模型 f(x,u)"] -.-> s1
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代价函数

典型形式：

$$J = \sum_{k=0}^{N-1} (x_k - x_{ref})^T Q (x_k - x_{ref}) + u_k^T R u_k$$

包含两项：

  • 状态代价：状态跟参考值的偏差
  • 控制代价：控制输入的大小（防止过于激进）

可以加硬约束（不等式）和软约束。

约束处理

这是 MPC 相比 LQR 等方法最关键的优势：

  • 关节角度限位：$\underline{q} \leq q \leq \bar{q}$
  • 关节速度限位：$\underline{\dot{q}} \leq \dot{q} \leq \bar{\dot{q}}$
  • 接触力约束：$f_z \geq 0$（地面反力非负）
  • 碰撞避免：作为不等式约束加入

主要分类

1. 线性 MPC（LMPC）

假设线性系统：

$$x_{k+1} = A x_k + B u_k$$

可以用 QP（二次规划）求解，速度快，适合实时控制。

典型应用：双足行走的 ZMP 控制、轮式机器人轨迹跟踪。

2. 非线性 MPC（NMPC）

用非线性动力学模型，需要求解非线性优化问题（NLP）。

计算量比 LMPC 大很多，通常需要：

  • 实时非线性优化求解器（e.g. Acados, FORCES Pro）
  • 比较好的初值（可以用线性 MPC 的结果做 warm start）

3. 凸非线性 MPC

把非线性问题凸化——比如用多面体约束、凸成本函数。

IsaacGym /机器人领域常见。

4. 随机 MPC

处理模型不确定性和外界干扰。

加入随机约束或者 robustness budget。

5. 学习式候选轨迹评估（相关方向：LiteNWM）

LiteNWM 也采用“预测短期后果 → 选择轨迹 → 执行一段 → 重新规划”的滚动闭环，但它保留冻结导航策略给出的候选集，再用学习到的潜空间世界模型和评分器重排序；它不是经典的显式动力学 MPC，也不通过求解 OCP 从头优化控制序列。两者相通的是 receding-horizon 的反复更新机制，分野在候选如何产生、如何评估。

在人形机器人中的典型应用

行走控制

用 centroidal dynamics + NMPC：

  • 预测未来几步的质心/角动量
  • 优化接触力分配
  • 保持平衡约束

代表工作：

  • Di Carlo et al., "Dynamic Locomotion in the MIT Cheetah 3 Through Convex Model-Predictive Control"（IROS 2018，四足凸 MPC）
  • Li & Nguyen, "Force-and-moment-based Model Predictive Control for Achieving Highly Dynamic Locomotion on Bipedal Robots"（arXiv:2104.00065，双足）
  • ANYmal 的行走控制

全身控制

用 WBC 框架下：

  • 上层用 MPC 计算 task-space 指令
  • 下层用 QP 分配关节力矩

足式机器人

四足/双足机器人的站立、行走、跑跳控制几乎都离不开 MPC。

代表：

  • MIT Cheetah 的凸 MPC
  • Unitree 的 NMPC 控制器

关键参数 (详见 MPC 调参指南)

预测时域 $N$

  • $N$ 太短：来不及规划，响应快但可能不稳定
  • $N$ 太长：计算量大，实时性差
  • 通常 $N=10\sim 40$ 步（取决于控制频率）

控制频率

  • 人形机器人典型：1-5 kHz
  • 越快越好，但受限于求解器速度
  • 高频MPC + 低频 RL 是常见组合

模型精度 vs 计算速度

这是一个 trade-off：

  • 精确模型 → 更好的跟踪和预测，但计算慢
  • 简化模型 → 计算快，但跟踪精度差

常用 trick：用简化模型做 MPC，用更精确的模型做仿真验证。

和强化学习的比较

维度 MPC 强化学习
依赖模型 必须有模型 不需要（model-free）
计算量 在线优化，实时要求高 离线训练，在线推理快
泛化能力 受模型精度限制 可泛化到新任务
处理约束 自然 需要专门设计
超越人类 难 可以

常见组合：

  • RL 训练低层策略 + MPC 做高层规划
  • RL 训练一个 "policy prior" + MPC 在其中做优化

最小代码骨架

下面这段代码把 MPC 的最小闭环写清楚：

  • 每个控制周期枚举几组候选控制序列
  • 用模型前向 rollout
  • 计算有限时域代价
  • 只执行当前第一步控制
import numpy as np

A = np.array([[1.0, 0.1], [0.0, 1.0]])
B = np.array([[0.0], [0.1]])
Q = np.diag([5.0, 0.5])
R = np.diag([0.1])


def mpc_step(x0, candidates):
    def cost(U):
        x = x0.copy()
        total = 0.0
        for u in U:
            total += x.T @ Q @ x + u.T @ R @ u
            x = A @ x + B @ u
        return float(total)

    best_U = min(candidates, key=cost)
    return best_U[0]


x = np.array([[0.2], [0.0]])
candidates = [np.zeros((10, 1)), 0.1 * np.ones((10, 1)), -0.1 * np.ones((10, 1))]
u = mpc_step(x, candidates)
print("apply control:", u.ravel())

真正的机器人 MPC 会把这里的候选序列枚举换成 QP / NLP 求解器，并显式加入接触、摩擦锥、力矩限位等约束。

方法局限性

  • 对计算资源敏感：预测时域一长、模型一复杂，实时性马上成为瓶颈
  • 对模型质量敏感：特别是人形机器人接触切换和摩擦建模不准时，预测会漂
  • 约束设计很考经验：硬约束和软约束怎么取舍，直接决定求解器稳定性
  • 通常还要下层控制器配合：MPC 负责规划得漂亮，但最后还得靠 WBC / impedance / PD 把它落到关节上

参考来源

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