quadratic-programming.md

type	formalization
tags	optimization qp wbc mpc control
status	complete
updated	2026-06-23
related	./kkt-conditions.md ./convex-functions.md ../concepts/hqp.md ../methods/model-predictive-control.md
sources	../../sources/courses/numerical_optimization_foundations_robotics.md ../../sources/papers/whole_body_control.md
summary	二次规划 QP：机器人 WBC、凸 MPC、控制分配与严格凸子问题的标准凸优化形式。

Quadratic Programming（二次规划）

二次规划（QP）：目标为凸二次函数、约束为线性的优化问题；是 WBC、凸 MPC、控制分配与许多 TrajOpt 子步骤的统一数学形式。

一句话定义

$\min \frac12 x^T P x + q^T x$ s.t. $Ax\le b,\ Cx=d$，其中 $P\succeq 0$ —— 机器人控制里「几乎到处都在用」的优化模板。

英文缩写速查

缩写	英文全称	简要说明
QP	Quadratic Programming	凸二次目标 + 线性约束
HQP	Hierarchical Quadratic Programming	分层 QP，任务优先级
OSQP	Operator Splitting Quadratic Program	稀疏 QP ADMM 求解器
MPC	Model Predictive Control	线性化后常退化为 QP
WBC	Whole-Body Control	任务空间 QP 求关节加速度/力矩

为什么重要

• 实时性：中等规模 QP 可在毫秒级求解（OSQP、qpOASES、HPIPM）。
• 可预测性：凸 QP 全局最优唯一（严格凸时），适合安全关键控制。
• 组合性：HQP 通过 null-space 投影串多个 QP。

标准形式

$$\min_x \frac12 x^T P x + q^T x \quad \text{s.t.} \quad l \le Ax \le u,\ Cx = d$$

• $P \in \mathbb{R}^{n\times n}$，$P \succeq 0$（半正定）
• 严格凸 QP：$P \succ 0$，Hessian 正定，解唯一

求解思路（课程 3.3）

方法	适用
Active-set	中小规模、热启动（qpOASES）
Interior-point	大规模稠密/稀疏
ADMM（OSQP）	稀疏结构、嵌入式 MPC
低维专用（Seidel 类）	2D/3D 约束几何，线性时间

机器人实例

应用	决策变量 $x$	典型约束
WBC	关节加速度 $\ddot{q}$ 或力矩 $\tau$	动力学等式、摩擦锥线性化
凸 MPC	状态/输入序列	线性化动力学、输入限幅
控制分配	各执行器力/力矩	$B\tau = w$，饱和
CLF-CBF-QP	控制修正 $\delta u$	线性 CLF/CBF 不等式

常见误区

• 把 NMPC 当 QP：非线性动力学 + 非二次代价一般不是 QP，需 SQP 或 iLQR 子问题。
• Hessian 不定仍用凸 QP 求解器：需修正为 Gauss-Newton 近似或 Levenberg-Marquardt。
• 忽略热启动：MPC/WBC 相邻帧结构相似，warm start 可 10× 加速。

与其他页面的关系

• KKT Conditions
• HQP、TSID
• MPC
• MPC Solver Selection
• Control Allocation

推荐继续阅读

• WBC Implementation Guide
• Boyd, Convex Optimization — QP 与对偶

参考来源

• sources/courses/numerical_optimization_foundations_robotics.md — 第 3 章 3.3 严格凸 QP
• sources/papers/whole_body_control.md — TSID/HQP ingest 摘要